Логико вероятностный метод гост. Логико-вероятностные методы анализа надежности систем

электроснабжения с помощью дерева отказов

Логико-вероятностный метод с использованием дерева отказов является дедуктивным (от общего к частному) и применяется в тех случаях, когда число различных отказов системы относительно невелико. Применение дерева отказов для описания причин отказа системы облегчает переход от общего определения отказа к частным определениям отказов и режимов работы её элементов, понятным специалистам-разработчикам как самой системы, так и элементов. Переход от дерева отказов к логической функции отказа открывает возможности для анализа причин отказа системы на формальной основе. Логическая функция отказа позволяет получить формулы для аналитического расчёта частоты и вероятности отказов системы по известной частоте и вероятностям отказов элементов. Использование аналитических выражений при расчёте показателей надёжности даёт основание к применению формул теории точности для оценки среднеквадратической погрешности результатов.

Отказ функционирования объекта как сложное событие является суммой события отказа работоспособности и события , состоящего в появлении критических внешних воздействий. Условие отказа функционирования системы формулируется специалистами в области конкретных систем на основе технического проекта системы и анализа её функционирования при возникновении различных событий при помощи высказываний .

Высказывания могут быть конечными, промежуточными, первичными, простыми, сложными. Простое высказывание относится к событию или состоянию, которые сами не рассматриваются ни как логическая сумма «ИЛИ», ни как логическое произведение «И» других событии или состояний. Сложное высказывание, представляющее собой дизъюнкцию нескольких высказываний (простых или сложных), обозначается оператором «ИЛИ», связывающим высказывания низшего уровня с высказываниями высшего уровня (рис.3.15,а). Сложное высказывание, представляющее собой конъюнкцию нескольких высказываний (простых или сложных), обозначается оператором «И», связывающим высказывания низшего уровня с высказываниями высшего уровня (рис.3.15,б).

Рис.3.15. Элементы представления логических схем

Высказывания удобно кодировать так, чтобы по коду можно было судить о том, простое оно или сложное, на каком уровне от конечного расположено и что собой представляет (событие, состояние, отказ срабатывания, тип элемента).

В теории графов деревом называется связный граф, не содержащий замкнутых контуров. Деревом отказов называют логическое дерево (рис. 3.16), в котором дуги представляют события отказа на уровне системы, подсистем или элементов, а вершины – логические операции, связывающие исходные и результирующие события отказов.

Рис. 3.16. Пример построения дерева отказов

Построение дерева отказов начинается с формулировки конечного высказывания об отказе системы. Для характеристики безотказности системы конечное высказывание относят к событию, которое приводит к нарушению функционирования в рассматриваемом интервале времени, при заданных условиях. То же для характеристики готовности.

Пример 8 . Построим дерево отказов для схемы сети, приведенной на рис.3.17.

Рис.3.17. Схема сети

Подстанции В и С питаются от подстанции А . Конечным событием дерева отказов является отказ системы в целом. Этот отказ определяется как событие, заключающееся в том, что

1) либо подстанция В , либо подстанция С полностью теряют питание;

2) мощность для питания суммарной нагрузки подстанций В и С приходится передавать по одной-единственной линии.

Исходя из определения конечного события и принципиальной схемы системы, строим дерево отказов (вниз от конечного события) (рис. 3.18). Цель анализа дерева отказов состоит в том, чтобы определить вероятность конечного события. Поскольку конечное событие есть отказ системы, анализ дает вероятность Р (F ).

Метод анализа основан на нахождении и расчете множеств минимальных сечений. Сечением называют такое множество элементов, суммарный отказ которых приводит к отказу системы. Минимальное сечение – такое множество элементов, из которого нельзя удалить ни одного элемента, иначе оно перестаёт быть сечением.

Передвигаясь на один уровень ниже от вершинного (конечного) события, проходим через узел «ИЛИ», который указывает на существование трёх сечений: {P }, {Q }, {R } (Р, Q , R – события отказов). Каждое из этих сечений может быть разделено далее на большее число сечений, но может выясниться, что отказ сечений обуславливается несколькими событиями, в зависимости от того, какой тип логического узла встречается на пути следования.

Рис.3.18. Дерево отказов системы по схеме рис. 3.17:

–отказы подсистем, которые можно анализировать далее;

Например, {Q} сначала превращается в сечение {3,Т }, затем Т разделяется на сечения {Х,У }, в результате вместо одного сечения {3,Т } появляются два: {3,X }, {3,У }.

На каждом из последующих шагов выявляются множества сечений:

Минимальными сечениями являются выделенные сечения {3,4,5}, {2,3}, {1,3}, {1,2}. Сечение {1,2,3} не минимальное, поскольку {1,2} – тоже сечение. На последнем шаге множества сечений состоят исключительно из элементов.

Лекция 9

Тема: Оценка надежности методом путей и сечений. Логико-вероятностные методы анализа сложных систем

План

1. Метод минимальных путей и сечений для расчета показателей надежности систем с разветвленной структурой.

2. Основные определения и понятия логико-вероятностных методов анализа и оценка надежности ИС.

3. Сущность метода кратчайшего пути успешного функционирования и минимального сечения отказов.

4. Расчет функции работоспособности и функции отказа для мостиковой структуры.

5. Области применения этих методов. Статистическое моделирование для оценки надежности ИС.

Ключевые слова

Показатели надежности, разветвленная структура ИС, минимальных путь, сечение, логико-вероятностный метод, мостиковая схема, функция работоспособности, кратчайший путь успешного функционирования, минимальное сечение отказов, вероятность безотказной работы, функция алгебры логики, структурная схема расчета надежности.

Встречаются структуры и способы организации ИС, когда резервирование имеет место, но его нельзя представить по схеме последовательного и параллельного включения элементов или подсистем. Для анализа надежности таких структур используют метод минимальных путей и сечений, который относится к приближенным методам и позволяет определить граничные оценки надежности сверху и снизу .

Путем в сложной структуре называется последовательность элементов, обеспечивающих функционирование (работоспособность) системы.

Сечением называется совокупность элементов, отказы которых приводят к отказу системы.

Вероятность безотказной работы последовательно включенных параллельных цепей дает верхнюю оценку для ВБР системы данной структуры. Вероятность безотказной работы параллельно включенных последовательных цепей из элементов путей дает нижнию оценку для ВБР системы данной структуры. Фактическое значение показателя надежности находится между верхней и нижней границами.

Рассмотрим мостиковую схему соединения элементов системы, состоящей из пяти элементов (рис. 1).

Рис. 1. Мостиковая схема соединения элементов (подсист.)

Здесь набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в переделах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Набор минимальных путей для мостиковой схемы представлен на рис. 2. Пути образуют элемента 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

Рис. 2. Набор минимальных путей.

Для всех элементов схемы известны ВБР Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» Q 1 ÷ Q 5 , необходимо определить вероятность наличие цепи между точками а и в . Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху.

Р в = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-Р 1 Р 3)(1-Р 2 Р 4)(1-Р 1 Р 5 Р 4)(1-Р 2 Р 5 Р 3)

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы.

При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы.

Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В переделах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3. Так как один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу.

P н = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

Рис. 3. Набор минимальных сечений

Вероятность безотказной работы системы Р с оценивается тогда по двойному неравенству

Р н ≤Р с ≤Р в

Таким образом, данный метод позволяет представить систему с произвольной структурой в виде параллельных и последовательных цепей. (При составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов). Метод прост, но требует точного определения всех путей и сечений. Он получил широкое применение при расчете надежности подсистем АСУТП, особенно применительно к системам защиты и логического управления. Его используют в системах регулирования мощности реактора, предусматривающая возможность перехода от одной неисправной цепи регулирования к другой, находящийся в резервном состоянии.

Логико-вероятностные методы анализа надежности систем

Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .

Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).

Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y ) = 1.

Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:

1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:

где i – принадлежит множеству номеров , соответствующих данному
l -му пути.

Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.

2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:

где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.

Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.

Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).

Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.

1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.

;

2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО

;

Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.

Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:

;

функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:

При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):

Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.

Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.

Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.

Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .

Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале

Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/ N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы

где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.

Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .

2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?

3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?

4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?

5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.

6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.

7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?

8. Что называется функцией работоспособности?

9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.

10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?

Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Под структурно-сложной системой с точки зрения анализа надежности будем понимать систему, состоящую из произвольного количества произвольно соединенных резервированных звеньев (параллельно-последовательных, мостиковых). В предыдущих лекциях были рассмотрены два метода исследования надежности структурно-сложных систем: метод анализа сложных последовательно-параллельных структур, метод разложения относительно особого элемента. При большом количестве элементов и межэлементных связей проведение расчетов надежности этими методами является крайне сложной задачей. Автоматизация расчетов позволяет решить проблему анализа надежности структурно-сложных систем. Для осуществления автоматизации необходимо иметь общее формальное описание “надежностного поведения” анализируемой системы. В качестве такого описания была выбрана алгебра логики (см. приложение). Метод анализа надежности сложных систем, при котором их структура описывается средствами математического аппарата бинарной алгебры логики, а количественная оценка надёжности производится с помощью теории вероятностей, получил название логико-вероятностного метода .

Применение логико-вероятностных методов для определения значений вероятностных показателей надежности в момент времени t для системы, состоящей из n элементов, осуществляется в несколько этапов:

· конструирование логической функции работоспособности системы

· преобразование логической функции к форме перехода к замещению

· получение расчетной вероятностной формулы

1. Конструирование логической функции работоспособности (неработоспособности) системы

Делается предположение о том, что как сама система, так и составляющие ее элементы могут находится только в двух состояниях – работоспособности и отказа, причем отказы элементов предполагаются независимыми. Тогда, исходя из условий работоспособности (неработоспособности) системы, можно сконструировать логическую функцию ее работоспособности S(x ) (неработоспособности )

(1)

Аргументом функции S является вектор-строка x логических переменных ,, таких что

(2)

Например, если за исходное описание системы принять уже изученные нами блок-схемы надежности, то для системы, состоящей из двух последовательно соединенных в смысле надежности элементов (отказ каждого является отказом системы в целом) (рис.1.а), , а . Функция работоспособности дублированной системы, в которой одиночные отказы элементов не приводят к ее отказу (рис.1.б), равна , неработоспособности - . Для мостиковой структуры (рис.1.в) , . Эти функции построены достаточно формально – они отражают наличие хотя бы одной связи (пути) между входом и выходом надежностной схемы системы. Путь работоспособен, если работоспособны все входящие в него элементы. Поэтому каждому пути соответствует элементарная конъюнкция переменных, соответствующих входящим в путь элементам, а S(X) – есть дизъюнкция всех элементарных конъюнкций, соответствующих возможным путям от входа к выходу. Для систем небольшой размерности запись подобных логических выражений не представляет труда, для сложных систем, состоящих из большого числа компонентов, требуются специальные алгоритмы прохода схемы и формирования путей.

Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .

Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).

Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y )= 1.

Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:

1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:

где i – принадлежит множеству номеров , соответствующих данному
l -му пути.

Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.

2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:

где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.

Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.

Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).

Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.

1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.

;

2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО

;

Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.

Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:

;

функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:

При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):

Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.

Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.

Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.

Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .

Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале

Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы

где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.

Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.

1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .

2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?

3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?

4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?

5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.

6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.

7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?

8. Что называется функцией работоспособности?

9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.

10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?

Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Тема: Расчет надежности восстанавливаемых систем (метод дифференциальных уравнений)

1. Общие методы расчета надежности восстанавливаемых систем.

2. Построение графа возможных состояний системы для оценки надежности восстанавливаемых систем.

3. Метод систем дифференциальных уравнений (СДУ), правило Колмогорова для составления СДУ

4. Нормировочные и начальные условия для решения СДУ.

Ключевые слова

Восстанавливаемая система, количественные характеристики надежности, граф состояний, работоспособное состояние, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, вероятность безотказной работы, интенсивность восстановления, интенсивность отказа нормировочные условия, начальные условия, параметры надежности, нерезервированная система.

Основной задачей расчета надежности проектируемых ИС является построение математических моделей адекватных вероятностным процессам их функционирования. Эти модели позволяют оценить степень удовлетворения требований по надежности к проектируемым или эксплуатируемым системам.

Вид математической модели определяет возможность получения расчетных формул. Для проведения расчета надежности восстанавливаемых резервированных и нерезервированных систем используются: метод интегральных уравнений, метод дифференциальных уравнений, метод переходных интенсивностей, метод оценки надежности по графу возможных состояний и др. .

Метод интегральных уравнений . Метод интегральных уравнений является наиболее общим, его можно применять при расчете надежности любых (восстанавливаемых и невосстанавливаемых) систем при любых распределениях ВБР и времени восстановления.

В этом случае для определения показателей надежности системы составляют и решают интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, связывающие характеристики распределения ВБР, а для восстанавливаемых систем – и время восстановления элементов.

В ходе составления интегральных уравнений обычно выделяют один или несколько бесконечно малых интервалов времени, для которых рассматривают сложные события, проявляющие при совместном действии нескольких факторов.

В общем случае решения находят численными методами с помощью компьютера. Метод интегральных уравнений не получил широкого распространения из-за трудности решения .

Метод дифференциальных уравнений . Метод применяется для оценки надежности восстанавливаемых объектов и основан на допущении о показательных распределениях времени между отказами (наработки) и времени восстановления. При этом параметр потока отказов w = λ = 1/t cp . и интенсивность восстановления µ = 1/t в , где t cp . – среднее время безотказной работы, t в – среднее время восстановления.

Для применения метода необходимо иметь математическую модель для множества возможных состояний системы S = {S 1 , S 2 ,…, S n }, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях системы. Время от времени система S скачком переходит из одного состояния в другое под действием отказов и восстановлений ее отдельных элементов.

При анализе поведения системы во времени в процессе износа удобно пользоваться графом состояний. Граф состояний – это направленный граф, где кружками или прямоугольниками изображают возможные состояния системы. Он содержит столько вершин, сколько различных состояний возможно у объекта или системы. Ребра графа отражают возможные переходы из некоторого состояния во все остальные с параметрами интенсивностей отказов и восстановлений (около стрелок показаны интенсивности переходов).

Каждой комбинации отказовых и работоспособных состояний подсистем соответствует одно состояние системы. Число состояний системы n = 2 k , где k – количество подсистем (элементов).

Связь между вероятностями нахождения системы во всех его возможных состояниях выражается системой дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнений первого порядка).

Структура уравнений Колмогорова построена по следующим правилам: в левой части каждого уравнения записывается производная вероятности нахождения объекта в рассматриваемом состоянии (вершине графа), а правая часть содержит столько членов, сколько ребер графа состояний связано с этой вершиной. Если ребро направлено из данной вершины, соответствующий член имеет знак минус, если в данную вершину – знак плюс. Каждый член равен произведению параметра интенсивности отказа (восстановления), связанного с данным ребром, на вероятность нахождения в той вершине графа, из которой исходит ребро.

Система уравнений Колмогорова включает столько уравнений, сколько вершин в графе состояний объекта.

Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием:

где P j (t j -м состоянии;

n – число возможных состояний системы.

Решение системы уравнений при конкретных условиях дает значение искомых вероятностей P j (t ).

Все множество возможных состояний системы разбивается на две части: подмножество состояний n 1 , в которых система работоспособна, и подмножество состояний n 2 , в которых система неработоспособна.

Функция готовности системы:

К г ,

где P j (t ) – вероятность нахождения системы в j работоспособном состоянии;

n 1 – число состояний в которых система работоспособна.

Когда необходимо вычислить коэффициент готовности системы или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при t→∞ . При этом все производные и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений, которые легко решаются.

Пример графа состояний нерезервированной восстанавливаемой системы с n – элементами приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний восстанавливаемой системы (штриховкой отмечены неработоспособные состояния)

Рассмотрим возможные состояния в которых может находиться система. Здесь возможны следующие состояния:

S 0 – все элементы работоспособны;

S 1 – первый элемент неработоспособен остальные работоспособны;

S 2 – второй элемент неработоспособен остальные работоспособны;

S n – n -й элемент неработоспособен остальные работоспособны.

Вероятность одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо мала. Символами λ 1 , λ 2 ,…, λ n обозначены интенсивности отказов, µ 1 , µ 2 ,…, µ n интенсивности восстановления соответствующих элементов;

По графу состояний (рис. 1) составляют систему дифференциальных уравнений (уравнение для состояния S 0 опускаем из-за громоздкости):

С нормировочным условием: .

Начальные условия:

При установившемся режиме эксплуатации (при t →∞) имеем:

Решив полученную систему алгебраических уравнений с учетом нормировочного условия, находим показатели надежности.

При решении системы уравнений можно использовать преобразование Лапласа для вероятностей состояний или численные методы.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?

2. Как определяются состояния элементов и устройств ИС?

3. Как определить области работоспособных состояний системы?

4. Почему метод дифференциальных уравнений получил широкое распространение при оценке надежности восстанавливаемых систем?

5. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?

6. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?

7. Каким условием должно быть дополнено система дифференциальных уравнений (СДУ) для более эффективного решения.

8. Запишите условия работоспособности системы, состоящий из трех элементов.

9. Чему равно число состояний устройства состоящего из четырех элементов?

10. Какое правило используется при составлении СДУ?

Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Тема: Марковские модели для оценки надежности резервированных восстанавливаемых информационных систем

1. Понятие Марковского свойства, определение состояния системы.

2. Методика и алгоритм построения Марковской модели.

3. Расчетные формулы для расчета показатели надежности ТС

4. Матрица интенсивностей переходов для оценки показателей надежности резервированных восстанавливаемых ИС.

Ключевые слова

Марковская модель, состояние системы, работоспособность, матрица интенсивностей переходов, граф состояний, восстанавливаемая система, резервирование, последовательная схема, постоянный резерв, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, схема расчета надежности, приближенный метод, алгоритмы построения СДУ, нормировочные условия, начальные условия, вероятность безотказной работы, интенсивность отказа.

Функционирование ИС и их составных частей можно представить как совокупность процессов перехода из одного состояния в другое под воздействием каких либо причин.

С точки зрения надежности восстанавливаемых ИС их состояние в каждый момент времени характеризуется тем, какие из элементов работоспособны, а какие восстанавливаются.

Если каждому возможному множеству работоспособных (неработоспособных) элементов поставить в соответствие множество состояний объекта, то отказы и восстановления элементов будут отображаться переходом объекта из одного состояния в другое:

Пусть, к примеру, объект состоит из двух элементов. Тогда он может находиться в одном из четырех состояний: n = 2 k = 2 2 = 4.

S 1 – оба элемента работоспособны;

S 2 – неработоспособен только первый элемент;

S 3 – неработоспособен только второй элемент;

S 4 – неработоспособны оба элемента.

Множество возможных состояний объекта: S = {S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.

Полное множество состояний исследуемой системы может быть дискретным, либо непрерывным (непрерывно заполнять один или несколько интервалов числовой оси).

В дальнейшем будем рассматривать системы с дискретным пространством состояний. Последовательность состояний такой системы и сам процесс переходов из одного состояния в другое называется цепью.

В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с непрерывным временем и процессы с дискретным временем. В процессах с непрерывным временем переход системы из одного состояния в другое осуществляется в любой момент времени. Во втором случае время пребывания системы в каждом состоянии – фиксировано так, что моменты переходов размещаются на временной оси через равные промежутки.

В настоящее время наиболее изучены цепи, обладающие марковским свойством. Вероятности переходов обозначаются символами P ij (t ), а процесс P ij переходов называется Марковской цепью или цепью Маркова.

Марковское свойство связанно с отсутствием последействия. Это означает, что поведение системы в будущем зависит только от ее состояния в данный момент времени, и не зависит от того каким образом она пришла в это состояние.

Марковские процессы позволяют описать последовательности отказов-восстановлений в системах, описываемых при помощи графа состояний.

Наиболее часто для расчета надежности применяется метод марковских цепей с непрерывным временем, основанный на системе дифференциальных уравнений, которая в матричной форме может быть записана как:

,

где P (t ) = P 0 – начальные условия;

,

а Λ – матрица интенсивности переходов (матрица коэффициента при вероятностях состояний):

где λ ij – интенсивности перехода системы из i-го состояния в j-е;

P j – вероятность того, что система находится в j-м состоянии.

При оценке надежности сложных резервированных и восстанавливаемых систем метод марковских цепей приводит к сложным решениям из-за большого числа состояний. В случае однотипных подсистем работающих в одинаковых условиях, для уменьшения числа состояний используют метод укрупнения. Состояния с одинаковым количеством подсистем объединяются. Тогда размерность уравнений уменьшается .

Последовательность методики оценки надежности резервированных восстанавливаемых систем с использованием метода марковских цепей следующая:

1. Анализируется состав устройства и составляется структурная схема надежности. По схеме строится граф, в котором учитывается все возможные состояния;

2. Все вершины графа в результате анализа структурной схемы разделяются на два подмножества: вершины соответствующие работоспособному состоянию системы и вершины соответствующие неработоспособному состоянию системы.

3. С помощью графа состояний составляется система дифференциальных уравнений (используется правило Колмогорова);

4. Выбираются начальные условия решения задачи;

5. Определяются вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в произвольный момент времени;

6. Определяется вероятность безотказной работы системы;

7. В случае необходимости определяются и другие показатели.

Контрольные вопросы и задания

1. Что подразумевается под цепью Маркова?

2. Приведите алгоритм оценки надежности ИС с использованием Марковских моделей.

3. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?

4. Значение каких показателей надежности можно получить используя Марковский метод?

5. Перечислите основные этапы построения Марковской модели надежности сложной системы.

6. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?

7. Как определяются состояния элементов и устройств КС?

8. Дайте определение понятию восстанавливаемых систем.

9. Что такое Марковская цепь?

10. Для оценки каких систем используют Марковские модели надежности?

Литература: 1, 2, 3, 10, 11.

Тема: Приближенные методы расчета надежности технических средств ИС

1. Основные допущение и ограничения при оценки надежности последовательно-параллельных структур.

2. Приближенные методы расчета надежности восстанавливаемых ИС, при последовательном и параллельном включении подсистем ИС.

3. Структурные схемы расчета надежности ИС.

Ключевые слова

Надежность, последовательно-параллельная структура, приближенные методы расчета надежности, структурное схема расчета надежности, интенсивность отказа, интенсивность восстановления, коэффициент готовности, время восстановления, компьютерная система.

Задание

Вычислить вероятность безотказной работы P c системы со струк­турой и параметрами, заданными в п.6.4, логико-вероятностным мето­дом. Сравнить полученный результат с граничными оценками, пол­ученными в п.6.

Элементы теории

Пусть x=(x­ 1 ,..., x n) - n-мериый вектор, характеризующий со­стояние системы, где х­ i - булева переменная: х­ i = 1 , если i -я подсистема работоспособна, и,x­ i =0 в противном случае.

Введя соответствующий критерий отказадля системы, можно за­дать булеву функцию, описывающую состояние работоспособности илиотказа системы:

R(x)=1,если система работоспособна. R(x)=0если система отказывает.

Если система находится в состоянии отказа. если система работоспособна.

Здесь R(х) - функция работоспособности, - функция от­каза в состоянии х.

Перейдем к вероятностным функциям:

Здесь Р - вероятность безотказной работы системы и Q - вероят­ность отказа системы, определенные для случая, когда х i соответст­вует работоспособному состоянию i -го элемента (подсистемы). Р и Q здесь определены для того же момента времени, что и р (х i) и q (х i) - вероятности безотказной работы и отказа элементов.

Структура системы называется монотонной, если для функции R(х ) выполняются следующие условия:

а) R(1)= 1 , где 1 =(1 ,...,1);

б) R(0) = 0,где0 = (0,...,0);

в) R (х) ≥R(у) , если х ≥у,

где условие (в) понимается как совокупность п условий х i ≥у i .

Для оценки надежности таких систем применяются метод мини­мальных путей и минимальных сечений, логико-всроятностнчй метод и другие.

К монотонным структурам относятся последовательно-параллель­ные и параллельно-последовательные структуры, а также несводимые к ним, такие, например, как "мостиковые".

Пример решения

Применение логико-вероятностного метода, позволяющего пол­учить точное значение вероятности безотказной работы, рассмотрим на примере мостиковой структуры, представленной на рис. 6.1.

Функцию R (х) представим в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) множеством минимальных путей (см. п.6.2)

R(х) = x 1 х 4 V х 1 x 3 x 5 V х 2 х 5 V х 2 x 3 х 4 ,

где х i - булева переменная, опреде­ляющая состояние работоспособностьi-го элемента. Матричная форма бу­левой функции R(х) представленана рис 7.1.

Для вычисления Р с необходимоR(х) представить в ортогональной форме R орт , т.е. в виде множества не­пересекающихся интервалов.

И соответствии с матрицей рис. 7.1 имеем:

Для вычисления достаточно в (7.1) х i за­менить на р i , на 1 -p i , конъюнкцию - на произведение и дизъ­юнкцию - на сумму. Проделав это, получим:

Пусть p i =p =0,8 тогда,

Сравнение с результатом, полученным в п. 6.3. дает:

0,9069<0,9611<0,9692

Библиографический список

1. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. – М.:Сов.радио, 1975. – 472 с.

2. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. – М.:Высш.шк., 1989. – 216 с.

3. Надежность технических систем: Справочник / Ю.К. Беляев, В.А. Богатырев, и др.; Под ред. И.А. Ушакова. – М.: Радио и связи, 1985. – 608 с.

4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем. – 4-е изд. – М.: Энергоатом-издат, 1986. – 480 с.

5. Каган Б.М., Мкртумян И.Б. Основы эксплуатации ЭВМ. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 432 с.